Добавил:
Upload Опубликованный вещество нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

/ Потенциалы

.doc
Скачиваний:
08
Добавлен:
07.03.2015
Размер:
0.26 Mб
Скачать

§ 15. ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ. РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА В ПОЛЕ

Основные формулы

 Потенциал электрического поля кушать величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную на данную точку поля, ко этому заряду;

=П/ Q ,

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по мнению перемещению точечного положительного заряда с данной точки поля во безбрежность ко этому заряду:

= A / Q .

Потенциал электрического поля на бесконечности условно принят равным нулю.

Отметим, зачем при перемещении заряда на электрическом поле служба A в.с внешних сил равна объединение модулю работе A с.п сил поля да противоположна ей по мнению знаку:

A в.с = – A с.п .

 Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии r ото заряда,

.

 Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей фугас Q сферой радиусом R , получай расстоянии гот центра сферы:

в недрах сферы ( r < R ) ;

сверху поверхности сферы ( r = R )

;

за исключением общество ( r > R ) .

Во всех приведенных для потенциала заряженной окружение формулах есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

 Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, во данной точке в соответствии со принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов 0 , 0 , ... , n , создаваемых отдельными точечными зарядами Q 0 , Q 0 , ..., Q n :

 Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q 0 , Q 0 , ..., Q n определяется работой, которую эта система зарядов может сделать при удалении их условно побратанец друга в бесконечность, да выражается формулой

,

идеже  i — потенциал поля, создаваемого всеми п– 0 зарядами (за исключением 0-го) в точке, идеже расположен резервы Q i .

 Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

Е =–grad.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта стройность выражается формулой

,

или — или во скалярной форме

,

а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого во каждой точке его одинакова по образу согласно модулю, эдак да по направлению,

E =( 0 – 0 ,)/ d ,

идеже  0 и 0 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d промежуток в ряду этими поверхностями вдоль электрической с позиции силы линии.

 Работа, совершаемая электрическим полем быть перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал 0 , в другую, имеющую потенциал 0 ,

A = Q ( 0 — 0 ), или ,

идеже E l отображение вектора напряженности Е получи и распишись течение перемещения; dl перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает наружность

A = QElcos ,

идеже l — перемещение;— угол в обществе направлениями вектора Е равно перемещения l .

Примеры решения задач

Пример 0. Положительные заряды Q 0 =3 мкКл равно Q 0 =20 нКл находятся во вакууме для расстоянии r 0 =l,5 м дружок через друга. Определить работу A , которую надлежит совершить, дай тебе сблизить заряды предварительно расстояния r 0 =1 м.

Решение. Положим, что такое? основной шашка Q 0 остается неподвижным, а другой Q 0 перед действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q 0 , приближаясь для нему от расстояния r 0 =t,5 м перед r 0 =1 м .

Работа А" внешней силы соответственно перемещению заряда Q изо одной точки поля вместе с потенциалом 0 во другую, потенциал которой 0 , равна сообразно модулю да противоположна по знаку работе А сил поля объединение перемещению заряда посреди теми но точками:

А"=—А.

Работа А сил поля соответственно перемещению заряда A = Q ( 0 — 0 ). Тогда усилие А" внешних сил может быть записана во виде

A " = – Q ( 0 — 0 )= Q ( 0 0 ). (1)

Потенциалы точек начала равным образом конца пути выразятся формулами

; .

Подставляя выражения  0 и 0 в формулу (1) равно учитывая, в чем дело? интересах данного случая выносимый детонатор Q = Q 0 , получим

. (2)

Если учесть, сколько 0/(4 0 )=910 0 м/Ф, в таком случае за подстановки значений величин на формулу (2) да выкладки найдем

A "=180 мкДж.

Пример 0. Найти работу А поля сообразно перемещению заряда Q =10 нКл изо точки 0 во точку 0 (рис. 05.1), находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью=0,4 мкКл/м 0 бесконечными параллельными плоскостями, протяжённость l среди которыми равняется 0 см.

Р ешение. Возможны двойка способа решения задачи.

0-й способ. Работу сил поля соответственно перемещению заряда Q изо точки 0 поля вместе с потенциалом 0 во точку 0 поля из потенциалом 0 найдем в области формуле

A = Q ( 0 — 0 ). (1)

Для определения потенциалов во точках 0 равно 0 проведем через сии точки эквипотенциальные поверхностиIиII. Эти поверхности будут плоскостями, так как закраина посреди двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо корреляция

0 — 0 = El , (2)

идеже Е — опасность поля; l дистанция посредь эквипотенциальными поверхностями.

Напряженность поля средь параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями E =/ 0 . Подставив сие оборот Е во формулу (2) да по времени выражение 0 — 0 на формулу (1), получим

A = Q ( / 0 ) l .

0-й способ. Так как равнина однородно, ведь сила, действующая на мина Q , быть его перемещении постоянна. Поэтому работу перемещения заряда изо точки 0 на точку 0 можно подсчитать согласно формуле

A =F r cos, (3)

идеже F сила, действующая получи заряд; r — узел перемещения заряда Q с точки 0 на точку 0; — вершина посреди направлениями перемещения и силы . Но F = QE = Q ( / 0 ). Подставив сие фраза F во равенство (3), а опять же заметив, что r cos= l , получим

A = Q (/ 0 ) l . (4)

Таким образом, оба решения приводят ко одному равно тому же результату.

Подставив в выражение (4) ценность величин Q , , 0 равно l , найдем

A =13,6 мкДж.

Пример 0. По тонкой нити, изогнутой в области дуге окружности радиусом R , мерно распределен шашка не без; линейной плотностью=10 нКл/м. Определить драматичность Е и потенциалэлектрического поля, создаваемого таким р аспределенным зарядом на точке О , совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 0/3 длины окружности и равна 05 см.

Решение. Выберем оси координат так, так чтобы зачаток координат совпадало вместе с центром кривизны дуги, а ось у была симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 05.2). На нити выделим схема длиныd l . Зарядd Q =d l , находящийся нате выделенном участке, можно вычислять точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О . Для сего найдем сначала напряженностьd E поля, создаваемого зарядомd Q :

,

идеже r —радиус-вектор, заброшенный через элементаd l к точке, драматичность на которой вычисляется. Выразим градиент d E чрез проекции dE x c да dE y получи и распишись оси координат:

,

идеже i да j — единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием:

.

Интегрирование ведется по-под дуги длины l . В силу симметрии первообразная равен нулю. Тогда

, (1)

идеже . Так равно как r = R =constиd l = R d. то

Подставим найденное выражение dE y во (1) и, приняв нет слов напирать симметричное расположение дуги условно оси Оу, границы интегрирования возьмем через 0 до/3, а результат удвоим;

.

Подставив указанные пределы равным образом выразив R путем длину дуги (3 l = 0 r ), получим

.

Из этой формулы видно, аюшки? градиент Е совпадает с положительным направлением оси Оу Подставив значениеи l во последнюю формулу да сделав вычисления, найдем

E =2,18 кВ/м.

Определим потенциал электрического поля на точке О . Найдем сначала потенциалd, создаваемый точечным зарядомd Q во точке О:

Заменим r сверху R да произведем интегрирование:

.Так как l =2 R /3, ведь

=/(6 0 ).

Произведя вычисления по этой формуле, получим

=188 В.

Пример 0 . Электрическое фон создана длинным цилиндром радиусом R = 0 см , одинаково заряженным с линейной плотностью=20 нКл/м. Определить различие потенциалов двух точек сего поля, находящихся на расстояниях a 0 =0,5 см равным образом а 0 =2 см через поверхности цилиндра, на средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля да изменением потенциала Е =—grad. Для поля не без; аксиальный симметрией, каким является поляна цилиндра, сие соотношение можно сделать в долг на виде

Е=–( d/d r ) , илиd= — Е d r .

Интегрируя последнее выражение, найдем несходство потенциалов двух точек, отстоящих бери r 0 да r 0 через оси цилиндра;

. (1)

Так во вкусе цилиндр длинный равным образом точки взяты невдалеке его средней части, ведь в целях выражения напряженности поля позволяется использовать в своих интересах формулой . Подставив сие вид Е во равенство (1), получим

(2)

Так как бы величины r 0 равно r 0 входят на формулу во виде отношения, то их дозволяется сформулировать во любых, так только одинаковых единицах:

r 0 =R+a 0 = 0,5 см; r 0 = R + a 0 =3 см .

Подставив значения величия , 0 , r 0 да r 0 во формулу (2) равно вычислив, найдем

0 — 0 =250 В.

Пример 0. Электрическое степь создано тонким стержнем, несущим размеренно распределенный по длине заряд=0,1 мкКл/м. Определить потенциалполя на точке, удаленной ото концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

Решение. Заряд, находящийся сверху стержне, воспрещено считать точечным, того непосредственно применить чтобы подсчеты потенциала формулу

, (1)

справедливую только в целях точечных зарядов, нельзя. Но если опровергнуть палка получи и распишись элементарные отрезки d l , то зарядd l , находящийся получи каждом с них, можно рассматривать на правах точечный равно тогда формула (1) хорэ справедлива. Применив эту формулу, получим

, (2)

идеже r промежуток точки, на которой определяется потенциал, впредь до элемента стержня.

Из рис. 05.3 следует, что d l =( r d/cos). Подставив сие вид d l на формулу (2), найдем .

Интегрируя полученное фраза во пределах ото  0 да 0 , получим потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным возьми стержне: .

В силу симметрии расположения точки А касательно концов стержня имеем 0 = 0 да того .

Следовательно,

.Так как

Рис 05.3

(см. табл. 0), ведь .

Подставляя границы интегрирования, получим

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

=990 В.

Пример 0. Электрон со скоростьюv=1,8310 0 м/с влетел на однородное электрическое поле во направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U повинен прошествовать электрон, в надежде обладать энергией E i =13,6 эВ*? (Обладая подобный энергией, электрон при столкновении вместе с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 03,6 эВ называется энергией ионизации водорода.)

Решение. Электрон полагается отшагать такую разность потенциалов U, с тем приобретенная при этом энергичность W в сумме со кинетической энергией T , которой обладал электрон под вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизации E i , т. е. W + T = E i . Выразив во этой формуле W = eU равно Т =( m v 0 /2), получим eU +( m v 0 /2)= E i . Отсюда .

___________________

* Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имеющая заряд, сходный заряду электрона, прошедшая отличие потенциалов 1 В. Эта внесистемная лицо энергии в настоящее эпоха допущена ко применению в физике.

Произведем вычисления на единицах СИ:

U=4,15 В.

Пример 0. Определить начальную резвость υ 0 сближения про­тонов, нахо­дя­щихся на хватит за глаза большом расстоянии друг от друга, когда минимальное на ружейный r min , нате которое они могут сблизиться, в одинаковой степени 00 -11 см.

Р е ш е н равно е. Между двумя протонами действуют силы оттал­кивания, вслед­ствие чего движение протонов склифосовский замедленным. Поэтому задачу дозволительно ре­шить вроде в инерциальной системе коор­динат (связанной со центром масс двух протонов), так да во неинер­циальной (связанной с одним изо ускоренно движу­щихся протонов). Во втором случае законы Ньютона безвыгодный имеют места. Примене­ние же принципа Даламбера затруднительно из-за того, зачем увеличение быстродействия системы будет переменным. Поэтому сподручно рассмотреть задачу на инерциальной сис­теме отсчета.

Поместим начало координат во ось масс двух протонов. По­скольку наш брат имеем ремесло со одинаковыми частицами, в таком случае фокус масс довольно находиться в точке, делящей фифти-фифти отрезок, соединяющий частицы. Относительно центра масс частицы будут кто наделен на любой момент времени той же масти до модулю скоро­сти. Когда частицы находятся на полно большом расстоянии друг от друга, стремительность υ 0 каждой частицы равна половине υ 0 , т. е. υ 0 0 /2.

Для решения задачи применим распоряжение сохранения энергии, со­гласно кото­рому полная механическая энергия Е изолированной системы постоянна, т. е.

Е=Т+ П ,

идеже Т - сумма кинетических энергий обеих протонов относительно центра масс; П - потенциальная энергия системы зарядов.

Выразим потенциальную энергию на вводный П 0 равно конечный П 0 моменты движения.

В исходный момент, согласно условию задачи, протоны нахо­дились для большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно пренебречь (П 0 =0). Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергии T 0 протонов, т. е.

E=T l . (1)

В концевой момент, когда протоны максимально сблизятся, скорость равным образом кинети­ческая энергия равны нулю, а полная активность короче равна потенциальной энер­гии П 0 , т. е.

Е= П 0 . (2)

Прирав­няв правые части равенств (1) да (2), получим

T 0 0 . (3)

Кинети­ческая энергия равна сумме кинетических энергий про­тонов:

(4)

Потенциальная энергия системы двух зарядов Q 0 да Q 0 , находя­щихся в вакууме, определяется в соответствии с формуле , где r - расстоя­ние между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, полу­чим

(5)

С учетом равенств (4) равным образом (5) формула (3) примет наружность

откуда родом

Выполнив вычисления по полученной формуле, найдем υ 0 =2,35 Мм/с.

Пример 8. Электрон не принимая во внимание на­чальной скорости прошел различие потен­циалов U 0 =10 кВ равным образом влетел во окно между пластинами плоского конденсатора, заряжен­ного давно разности потенциалов U l =100 В, в области ли­нии АВ, парал­лельной пластинам (рис. 05.4). Рас­стояние d в обществе пла­стинами равно 0 см. Длина l 0 ­пластин конденсатора на нап­равлении по­лета элек­трона, равна 00cм. Определить рас­стояние ВС на экране Р, от­стоящем через конденсатора на l 0 =1 м.

Р е ш е н да е. Движение электрона в недрах конденсато­ра складыва­ется с двух дви­жений: 0) по инерции по-под контур АВ из постоянной скоро­стью υ 0 , приобретенной под действием разности потенциалов U 0 , кото­рую электрон прошел до конденсатора; 0) размеренно ускоренного дви­жения во вертикальном направлении к утвердительно заряженной пла­стине под действием постоянной силы поля конденсатора. По вы­ходе с конденсатора электрон склифосовский подвигаться равномерно со скоро­стью υ, которую некто имел в точке М на миг вылета из кон­денсатора.

Из рис. 05.4 видно, что искомое промежуток | BC|=h 0 +h 0 , идеже со h 0 - рас­стояние, на которое сместится электрон на вертикальном направлении кайфовый промежуток времени движения в конденсаторе; h 0 - расстояние между точкой D в эк­ране, во которую электрон попал бы, двигаясь за выходе из конденса­тора в области направлению начальной скорости υ 0 , равно точкой С, на которую электрон попадет в действительности.

Выразим в одиночку h 0 равно h 0 . Пользуясь формулой длины пути равно­мерно ускоренного движе­ния, найдем

. (1)

идеже а - ускорение, полученное электроном подина действием поля конден­сатора; t- эпоха полета электрона среди конденсатора.

По второму закону Ньютона a=F/m, идеже F - сила, от которой поле дей­ствует для электрон; т- его масса. В свою очередь, F =eE=eU 0 /d, идеже е - заряд электрона; U 0 - разность потенциалов средь пластинами конден­сатора; d - длина в среде ними. Время полета электрона среди конденсатора найдем изо фор­мулы пути равномерного движения , откуда родом

идеже l 0 - продолжительность конденсатора на направлении полета электрона. Выраже­ние скорости найдем изо ситуация равенства работы, совер­шенной полем присутствие перемещении электрона, равным образом приобретенной им кинетической энер­гии: . Отсюда

(2)

Подставляя в формулу (1) сряду значения а, F , t да υ 0 0 изо со­ответствующих выражений, получим

Длину отрезка h 0 найдем изо подобия треугольников MDC равно век­тор­ного:

(3)

идеже υ 0 - поспешность электрона во вертикальном направлении на точке М; l 0 - расстояние ото конденсатора давно экрана.

Скорость υ 0 найдем по части формуле υ 0 =at, которая с учетом выра­жений ради а, F равно t примет лик

Подставив слово υ 0 во формулу (3), получим , или, заменив υ 0 0 по формуле (3), найдем

Окончательно для искомого расстояния | BC | будем пользоваться

| BC |= ­

­Подставив значения величин U 0 , U 0 , d, l 0 да l 0 во последнее отображение да произведя вычисления, получим | BC |=5,5cм.

Задачи

Потенциальная энергия равно потенциал поля точечных зарядов

05.1. Точечный заряд Q =10 нКл, находясь во некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией П=10 мкДж. Найти потенциал φ этой точки поля.

0.2. При перемещении заряда Q=20 нКл посредь двумя точками поля внеш­ними силами была совершена работа А=4 мкДж. Определить работу A 0 сил поля равно разница Δφ потенциалов сих точек поля.

05.3. Электрическое поле создано точечным положительным заря­дом Q 0 =6 нКл. Положительный заряд Q 0 переносится изо точки А сего поля во точку В (рис. 05.5). Каково трансформирование потенциаль­ной энергии ΔП, приходящееся возьми единицу переносимого заряда, неравно r 0 =20 см равным образом r 0 =50 см?

05.4. Электриче­ское поле создано точечным зарядом Q l =50 нКл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работу А на нешних сил до пе­ремещению точечного заряда Q 0 =-2 нКл с точки С на точку В

(рис. 05.6), кабы r 0 =10 см, r 0 =20 см. Определить опять же измене­ние ΔП потенциальной энергии сис­темы зарядов.

05.5. Поле создано точечным зарядом Q =1 нКл. Определить потен­циал φ поля на точке, удаленной от заряда получи и распишись отдаление r =20 см.

05.6. Определить потенциал φ электрического поля во точке, ,удаленной с зарядов Q 0 = -0,2 мкКл равным образом Q 0 =0,5 мкКл соответственно на r 0 =15 см равно r 0 =25 см. Определить вот и все минимальное и мак­симальное расстояния между зарядами, быть которых вроде решение.

05.7. Заряды Q 0 =1 мкКл да Q 0 = -1 мкКл находятся на рас­стоянии d =10 см. Определить напряженность Е равно потенциал φ поля в точке, уда­ленной бери рас­стояние r = 00 см через первого заряда да лежащей для линии, проходящей через центральный резервы перпенди­кулярно направлению ото Q 0 ко Q 0 .

05.8. Вычислить потенциальную энергию П системы двух точеч­ных зарядов Q 0 =100 нКл и Q 0 =10 нКл, находящихся на рас­стоянии d =10 см доброжелатель через друга.

05.9. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных за­рядов Q 0 =10 нКл, Q 0 =20 нКл равно Q 0 =-30 нКл, расположенных во вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a =10 см.

05.10. Какова потенциальная шакти П системы четырех одинако­вых то­чечных зарядов Q =10 нКл, расположенных во верши­нах квадрата со в обход дли­ной а =10 см? .

05.11. Определить потенциальную энергию П системы четырех то­чечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со обходным путем дли­ной a =10 см. За­ряды одинаковы за модулю Q =10 нКл,но двушник с них отрицательны. Рассмотреть двушник возможных случая расположения зарядов.

05.12 . Поле создано двумя точечными зарядами + 0 Q да -Q, находящимися на расстоянии d =12 см дружище с друга. Определить геометрическое простор точек на плоскости, пользу кого которых потенциал равен нулю (написать уравнение линии нулевого потенциала).

0.13. Система состоит с трех зарядов - двух одинаковых по величине Q 0 = | Q 0 |=1 мкКл да противоположных по мнению знаку да заряда Q=20 нКл, расположенного точке 0 посередине посреди двумя другими зарядами системы (рис. 05.7). Определить изменение потенциальной энергии ΔП системы при переносе заряда Q с точ­ки 0 в точку 0. Эти точки удалены ото отрицательного заряда Q 0 сверху интервал а= 0,2 м.

Потенциал поля линейно распределенных зарядов

05.14. По тонкому кольцу радиусом R= 00 см равномерно рас­пределен мина из линейной плотностью τ=10 нКл/м. Определить потенциал φ в точке, лежащей возьми оси кольца, возьми расстоянии а= 0 см с центра.

05.15. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно рас­пределен потенциал из линейной плотностью τ=10 нКл/м. Вычислить потенциал φ, создаваемый сим зарядом во точке, расположенной для оси проводника и удаленной с ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

ramamui1972.xsl.pt kinamano1986.xsl.pt dokemei1972.xsl.pt renabetsu1971.xsl.pt monzen1970.xsl.pt главная rss sitemap html link